Вычисление длины гладкой кривой через определенный интеграл. Длина кривой в полярных координатах

Если $\gamma$ - гладкая кривая, то она спрямляемая и её длина: $$S(\gamma) = \int_{a}^{b} \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}} \, dt $$ Если $y = f(x)$, то: $$S(\gamma) = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^{2}} \, dx $$

По теореме Пифагора получим длину отрезка: $$|A_{k}A_{k+1}| = \sqrt{(x(t_{k+1}) - x(t_{k}))^{2} + (y(t_{k+1}) - y(t_{k}))^{2}}$$ Тогда длина ломаной: $$S(L) = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{(x(t_{k+1}) - x(t_{k}))^{2} + (y(t_{k+1}) - y(t_{k}))^{2}}$$ По теореме Лагранжа $\exists{\xi_{k}, \eta_{k}}$ такие, что: $$S(L) = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{(x'(\xi_{k}))^{2} (\Delta t_{k})^{2} + (y'(\eta_{k}))^{2} (\Delta t_{k})^{2}} = \sum_{k=0}^{n-1} \Delta t_{k} \sqrt{(x'(\xi_{k}))^{2} + y'(\eta_{k}))^{2}}$$ Из непрерывности $y'(t)$ и $\lambda(\tau) < \delta$ получаем: $$S(L) = \sum_{k=0}^{n-1} \Delta t_{k} \sqrt{(x'(\xi_{k}))^{2} + (y'(\xi_{k}))^{2}} + o(1) = S\left(\sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}, \tau, \xi\right) + o(1)$$ Так как функция под интегральной суммой непрерывна, то она интегрируема, значит: $$S(\gamma) = \lim_{\lambda(\tau) \to 0} S(L) = \int_{a}^{b} \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}} \, dt$$ **Почему из $\lim$ следует $\sup$?** По определению точной верхней необходимо проверить: 1. $\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\tau}\mathpunct{:}~~ S_{\tau}(L) > I - \varepsilon$ 2. $\forall{\tau}\mathpunct{:}~~ S_{\tau}(L) \leq I$ где $I = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}} \, dt$ **Утверждение 1** Из основной части доказательства теоремы: $$|S_{\tau}(L) - I| < \varepsilon \implies I - \varepsilon < S_{\tau}(L) < I + \varepsilon$$ **Утверждение 2** От противного: $\exists{\tau, \varepsilon}\mathpunct{:}~~ S_{\tau}(L) \geq I + \varepsilon$ Пусть $\tau_{1} = \tau \cup \tau_{2}$, такое, что $\lambda(\tau_{1}) < \delta$ По геометрическому неравенству треугольника: $S_{\tau_{1}}(L) \geq S_{\tau}(L)$ Но из выбора $\tau_{1}$: $$I + \varepsilon > S_{\tau_{1}}(L) > S_{\tau}(L) \geq I + \varepsilon$$ Противоречие, а значит: $$\forall{\varepsilon, \tau}\mathpunct{:}~~ S_{\tau}(L) < I + \varepsilon \implies \forall{\tau}\mathpunct{:}~~ S_{\tau}(L) \leq I$$ $\square$

Пусть $\gamma\mathpunct{:}~ r = r(\varphi), \varphi \in [a, b]$, тогда: $$S(\gamma) = \int_{a}^{b} \sqrt{(r'(\varphi))^{2} + (r(\varphi))^{2}} \, dx $$

Запишем $r = r(\varphi)$ по определению: $$\begin{cases} x = r(\varphi) \cos\varphi \\ y = r(\varphi) \sin\varphi \end{cases} \implies \begin{cases} x' = r'(\varphi)\cos\varphi - r(\varphi)\sin\varphi \\ y' = r'(\varphi)\sin\varphi - r(\varphi)\cos\varphi \end{cases}$$ Воспользуемся вышедоказанной формулой и тригонометрическими формулами, получим: $$S(\gamma) = \int_{a}^{b} \sqrt{(x')^{2} + (y')^{2}} \, d\varphi = \int_{a}^{b} \sqrt{(r'(\varphi))^{2} + (r(\varphi))^{2}} \, d\varphi$$ $\square$